Пусть ABC - прямоугольный треугольник с катетами AC и BC, AB - гипотенуза. CD - высота, опущенная на гипотенузу. 
AD = 5 cм
BD = 20 см 
AB = AD + BD = 25 (cм)
по теореме Пифагора:
AC² + BC² = AB²
AC² + BC² = 25²
AC² + BC² = 625

Из прямоугольного треугольника ACD: AD и CD - катеты, AC - гипотенуза.
По теореме Пифагора:
CD² + AD² = AC²
AC² = 5² + CD²
AC² = 25 + CD²

Из прямоугольного треугольника BCD: BD и CD - катеты, BC - гипотенуза.
По теореме Пифагора:
BD² + CD² = BC²
BC² = 20² + CD²
BC² = 400 + CD²

AC² + BC² = 625 ⇒ 25 + CD² + 400 + CD² = 625
2*CD² = 625 - 400 - 25
2* CD² = 200
CD² = 100
CD = √100
CD = 10 (cм)

Высота равна 10 см