Пусть  а - катет против угла в 30°
            b - второй катет
            с - гипотенуза
по теореме пифагора с² = a² + b² (1)
a= c/2 (по свойству стороны, лежащей против угла в 30°), тогда
с= 2а, подставим это в (1) , получим
4a² = a²+b²,  b² = 4a²-a²=3a²,   b = a√3  (2)
ab/2 = S - площадь данного треугольника, так как S =288√3 cм² , то
ab/2 = 288√3
ab = 2*288√3
ab= 576√3   (3) 
подставим в (3)  вместо катета b выражение (2), получим
a*a√3 = 576√3
a² = 576
a= √576
a= 24 (см) - длина искомого катета
Ответ: 24 см