В треугольнике центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. 

АА1- биссектриса. ∠ВАА1=∠САА1. ⇒

 В описанной вокруг ∆ АВС окружности  вписанные ∠ВАА1 и ∠САА1 опираются на хорды, стягивающие равные дуги:

                                   ВА1=СА1. 

Проведем биссектрису СМ угла ВСА. 

АА1 и СМ - хорды.    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

                           ∠СОА1=(◡СА1+◡АМ):2

Вписанный  угол равен половине градусной величины дуги, на которую опирается. ⇒

                          ∠МСА1=( ◡МВ+◡ВА1):2

◡МВ=◡АМ ( т.к. ∠ВСМ=∠АСМ). 

◡ВА1=◡СА1  как дуги, на которые опираются равные ∠ВАА1 и ∠САА1

Следовательно, (◡СА1+◡АМ):2=(◡МВ+◡ВА1):2 

Отсюда следует равенство ∠СОА1=∠ОСА1, ⇒ 

∆ ОА1С - равнобедренный, ⇒ОА1=А1С

Отрезки ВА1=СА1=ОА1. Доказано.