Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок - бесплатно!
- 05.01.2021 12:29
- Математика
- remove_red_eye 308
- thumb_up 1
Ответы и объяснения 2
Ответ:
61.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(0 - λ)x1 + 1x2 + 0x3 = 0
-3x1 + (4 - λ)x2 + 0x3 = 0
-2x1 + 1x2 + (2 - λ)x3 = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
(0 - λ) • ((4 - λ) • (2 - λ)-1 • 0)-(-3 • (1 • (2 - λ)-1 • 0))+(-2 • (1 • 0-(4 - λ) • 0)) = 0
После преобразований, получаем:
-λ3+6*λ2-11*λ+6 = 0
λ1 = 3
Подставляя λ1 = 3 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений.
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Умножим 1-ую строку на (-2). Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
x2 = 3x3
- 2x1 + x2 = x3
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:
x2 = 3x3
x1 = x3
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 3, имеет вид:
(1x3,3x3,1x3) = x3(1,3,1)
где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:
λ2 = 1
Подставляя λ2 = 1 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Умножим 1-ую строку на (-2). Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 3x2 = - 3x3
- 2x1 + x2 = - x3
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:
x2 = x3
x1 = x3
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ2 = 1, имеет вид:
(1x3,1x3,1x3) = x3(1,1,1)
где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:
λ3 = 2
Подставляя λ3 = 2 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-3). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-2). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- x2 = 0
- 2x1 + x2 = 0
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:
x2 = 0
x1 = 0
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ3 = 2, имеет вид:
(0x3,0x3,1x3) = x3(0,0,1)
где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:
- 06.01.2021 08:14
- thumb_up 1
Ответ:
66.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(6 - λ)x1-2x2-1x3 = 0
-1x1 + (5 - λ)x2-1x3 = 0
1x1-2x2 + (4 - λ)x3 = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
|
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
(6 - λ) • ((5 - λ) • (4 - λ)-(-2 • (-1)))-(-1 • (-2 • (4 - λ)-(-2 • (-1))))+1 • (-2 • (-1)-(5 - λ) • (-1)) = 0
После преобразований, получаем:
-λ3+15*λ2-71*λ+105 = 0
λ1 = 7
Подставляя λ1 = 7 в систему, имеем:
|
или
|
Решаем эту систему линейных однородных уравнений.
Выпишем основную матрицу системы:
|
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
|
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
Найдем ранг матрицы.
|
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
|
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 4x2 = 4x3
x1 - 2x2 = 3x3
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:
x2 = - x3
x1 = x3
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 7, имеет вид:
(1x3,-1x3,1x3) = x3(1,-1,1)
где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:
λ2 = 5
Подставляя λ2 = 5 в систему, имеем:
|
или
|
Решаем эту систему линейных однородных уравнений
Выпишем основную матрицу системы:
|
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
|
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
|
Найдем ранг матрицы.
|
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
|
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 2x2 = 2x3
x1 - 2x2 = x3
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:
x2 = - x3
x1 = - x3
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ2 = 5, имеет вид:
(1x3,1x3,-1x3) = x3(1,1,-1)
где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = -1:
λ3 = 3
Подставляя λ3 = 3 в систему, имеем:
|
или
|
Решаем эту систему линейных однородных уравнений
Выпишем основную матрицу системы:
|
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
|
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
|
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
|
Найдем ранг матрицы.
|
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
|
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
4x2 = 4x3
x1 - 2x2 = - x3
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:
x2 = x3
x1 = x3
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ3 = 3, имеет вид:
(1x3,1x3,1x3) = x3(1,1,1)
где x3 - любое число, отличное от нуля.
- 06.01.2021 08:21
- thumb_up 1
Знаете ответ? Поделитесь им!
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.