Я сделаю исключение для этой задачки. Потому что результат озадачил и меня. В конце скажу - почему.
1) Тут все очень просто. ∠NMC = ∠FDN; но CN = CM; => ∠NMC = ∠MNC = ∠FND; то есть FD = FN (лежат напротив равных углов в треугольнике FND)
2) А вот тут - занятно. Я приведу полное решение, половину можно было бы не писать.
Пусть BC = a; AC = b; AB = c; AN = AK (K - третья точка касания) = x; BK = BM = y; CM = CN = z; 
x + y = c;
x + z = b;
y + z = a;
Откуда z = (a + b - c)/2; (это записывают еще как p - c);
FN = FC - CN = b/2 - (a + b - c)/2 = (c - a)/2; это равно FD (см 1) )
то есть ED = EF + FD = c/2;
Легко видеть, что треугольник EBD - равнобедренный, EB = ED = c/2;
Это, в свою очередь, означает, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC; причем независимо от того, где находятся точки A и С на касательных из точки B; я не вижу тут кого-то "геометрического" объяснения, что странно. Может, кто-нибудь его видит?
Я рассмотрел случай, когда c > a; обратный случай рассматривается аналогично. То есть средняя линия,  параллельная AB, KN и биссектриса угла B тоже пересекаются в одной точке, но уже внутри треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами ED = EB = 10 и углом между ними 120 градусов находятся элементарно. В ответе будет 25√3; если я не ошибся.