Задача №1

Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, равны (свойство касательных). Следовательно,
(см. рис. 1). Поэтому сторона AB равна 16+16=32.

Найдём полупериметр p:


Теперь найдём площадь по формуле Герона:


Теперь по формуле найдём радиус вписанной окружности:


Ответ: площадь — 480 см², радиус вп. окружности — 9,6 см.


Задача №2
Cм. рис. 2. O — центр описанной окружности, A — прилежащий угол.

Найдём синус противолежащего угла:


Теперь найдём гипотенузу, применив теорему синусов:


Радиус R описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы, поэтому:


Ответ: 5 дм (не см!!!)

Задача №3
См. рис. 3. BC || AD, AB и CD — бёдра трапеции. Докажем, что AB=CD.

Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180° (необходимое условие). То есть ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

С другой стороны, сумма углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равна 180° (по теореме о параллельных прямых BC и AD и секущей AB). Следовательно, ∠A+∠B=∠C+∠D=180°.

Сопоставив эти равенства, получим, что ∠A=∠D и ∠B=∠C. Является ли это доказательством, что трапеция равнобедренная? Я не помню, изучают ли в школе эту теорему, поэтому на всякий случай докажу.

Проведём высоты BE и CF (см. рис. 4). Они равны, так как все высоты трапеции равны. Поэтому прямоугольные треугольники ABE и DFC равны (по острому углу и катету). Значит, равны их гипотенузы — AB и CD, что и требовалось доказать.