Если у АВ и СД общая середина, значит, точки на прямой расположены в порядке А, С, Д, В (или А, Д, С, В, этот случай во всем аналогичен первому). Пусть середина этих отрезков - точка О. ОС = ОД, ОА = ОБ по определению, след-но, АС = ДБ. Построим треугольники СДЕ и АВЕ. СДЕ -равнобедренный, след-но, СЕ = ДЕ, и угол АСЕ = углу ВДЕ; а т.к. АС = ДБ, то из этого следует (по 2 признаку рав-ва треугольников), что треугольник АСЕ = треугольнику ВДЕ, след-но, АЕ = ВЕ, след-но треугольник АВЕ равнобедренныйс осонованием АВ, что и требовалось доказать.
[UPD] Е, конечно, не лежит на прямой АВ!!!
Решение предыдущего ответившего лучше, потому что короче, если только вы проходили, что такое медиана и высота...