1.

Дано: 



Требуется доказать:


Доказательство:

являются прямоугольными треугольниками - дано.

Используя теорему у сумме острых углов прямоугольного треугольника, найдем не достающий угол в прямоугольном треугольнике.
Достаточно найти угол лишь в 1 прямоугольном треугольнике, так как 
2 пары углов равны между собой - дано.


Теперь, запишем недостающие углы:


Мы знаем что у параллельных прямых, пересеченных 3 линией (в нашем случае это отрезок MP), образуются накрест лежащие углы, и при этом они равны.
Т.к.  накрест лежащие, и они равны. Т.e.   .
Ч.Т.Д.

2.
ME является гипотенузой прямоугольного треугольника MEP. 
Так как: 
. То катет MP равен половине гипотенузы.



Используя неравенство  треугольника (прямоугольного), получаем:
1. .
2. 

Отсюда:
 
Ч.Т.Д.

3.
Используя теорему о медиане прямоугольного треугольника (Медиана проведенная из вершины прямого угла и падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы)
Мы получаем, что:


Так как:
то противолежащий катет, т.е. MP равен половине гипотенузы.
То, имеем .