Пусть первый катет равен х см, гипотенуза равна х+8 см, а второй катет равен 30-(х+х+8)=30-8-2х=22-2х.
По теореме Пифагора, а^2+b^2=c^2 где a и b – катеты, с – гипотенуза:  
x^2+(22-2x)^2=(x+8)^2
Решим полученное уравнение:  
x^2+4х^2-88 х+484 = х^2+16 х+64
4 х^2-104 х+420 = 0
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b2 - 4ac = (-104)^2 - 4·4·420 = 10816 - 6720 = 4096
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
x1=(104-√4096)/2*4=(104-64)/8=5
x2=(104+√4096)/2*4=(104+64)/8=21 – второй корень не подходит так как при этом значении периметр будет более 30 см.  
Значит первый катет равен 5 см.
Второй катет равен 22-2*5=12 см.  
Площадь данного треугольника:
S=1/2ab
S=1/2*5*12=30 кв. см.