Трапеция ABCD; AD II BC; AC = 3; BD = 5; 
Пусть CE II BD; E лежит на продолжении AD;
Площадь треугольника ACE равна площади трапеции,
так как DE = BC; => AE = AD + BC; и у них общая высота, которая равна расстоянию от точки C до прямой AD.
Еще раз - у треугольника и трапеции одинаковые средние линии AE/2 = (AD + BC)/2 и общая высота. Площадь равна произведению средней линии на высоту и у треугольника и у трапеции.
Далее, если M - середина BC, N - середина AD, K - середина AE; 
то MC = NK; потому что NK = AE/2 - AD/2 = BC/2; 
=> MCKN - параллелограмм, и MN = CK;
=> в треугольнике ACE (площадь которого надо найти по условию задачи) медиана CK = 2; а стороны AC = 3; CE = 5;
Если теперь продлить CK за точку K на "свою" длину 2 - пусть это точка P;
то ACEP - тоже параллелограмм, потому что его диагонали AE и CP делятся пополам в точке пересечения K. 
Площадь треугольника ACE (и следовательно, площадь трапеции ABCD) равна половине площади этого параллелограмма.
Также и треугольник ACP имеет такую же площадь (любая из диагоналей делит параллелограмм на два равных треугольника).
У треугольника ACP стороны AC = 3; CP = 4; AP = 5; то есть это прямоугольный треугольник, и его площадь равна 3*4/2 = 6;