Допустим что известно высота:  SO =h .
Так как все боковые ребра равны  SA =SB =SC , то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности , а это середина гипотенузы  AC.  AO =OB =AC/2.  AB = AC/2 =h  (катет против угла Получили :    AC =2h ;  AB=h ; BC=h√3  ; SA =SB =SC=h√2.
Sпол =Sосн+Sбок ;
Sосн=(AB*BC)/2 =(h*h√3)/2 =h²*√3/2;
Sбок =S(ΔASC) + S(ΔASB) +S(ΔACB) =1/2AC*SO +1/2AB*h₁ +1/2BC*h₂ =
=1/2*2h*h + 1/2*h*√((h√2)² - (h/2)²) +1/2*h√3 *√((h√2)² -(h√3/2)²) =
=h² + h²*(√7)/4 +h²*(√15)/4 .
Sпол =Sосн+Sбок =h²*√3/2 +h² + h²*(√7)/4 +h²*(√15)/4 =
=h²(3/2 +1 +√7/4 +√15/4) .