Еорема.Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 
Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что AB 

 
В равнобедренном треугольнике BCD 1 = 2, а в треугольнике ABD угол ABD > 1 и, значит, угол ABD > 2. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то AB < AD. Но AD = AC + CD = AC + CB, поэтому AB < AC + CB. Теорема доказана. 
Следствие.
Для любых трех точек A, B и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < BA + AC. 
Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.