3) Периметр грани тетраэтра = 36, тетраэдр правильный => грань - равносторонний треугольник со стороной 36/3 = 12

DF=DP (медиана и высота грани) = сторона*корень(3)/2 = 6корень(3)

PF (средняя линия ABC) = сторона/2 = 6

P(DFP) = 6 + 2*6корень(3) = 6 + 12корень(3)

4) т.к. FBCH - квадрат => BC=BF=a

2a^2 = (6корень(2))^2 = 36*2 => a = 6 = BC

AD = BC + 2*AF

прямоугольный треугольник ABF равнобедренный, т.к. угол ABF = ABC-CBF = 135-90 = 45

=> угол BAF = 45 => BF=AF=6

AD = 6 + 2*6 = 3*6 = 18

средняя линия трапеции = полусумме длин оснований = (18+6)/2 = 12

Sискомой трапеции = (BF/2)*(12+6)/2 = 3*9 = 27

5) ромб - параллелограмм, сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне = 180 => углы ромба = 60 и 120=ABC

диагонали ромба - биссектрисы его углов => угол BDO = 60 => треугольник CBD равнобедренный с основанием DC (углы при основании = 60) BD=BC, BO - медиана и высота => треугольник BOD - прямоугольный, угол DBO=30

треугольник MBO - равнобедренный MB=BO, угол MBO=60 => треугольник MBO - равносторонний

высота равностороннего треугольника = а*корень(3)/2, где а - его сторона (BO)

S треугольника = a * (а*корень(3)/2) / 2 = 3*корень(3)

отсюда BO = 2*корень(3) - высота ромба

BO^2+DO^2 = BD^2

BD = 2DO (катет против угла в 30 градусов)

BO^2+DO^2 = (2D0)^2

BO^2=-DO^2 + 4DO^2 = 3DO^2

3DO^2 = 4*3

DO^2 = 4

DO = 2

DC = 2DO = 4 - сторона ромба

Sромба = сторона * высоту = 4*2*корень(3) = 8*корень(3)