правильный шестиугольник имеет шесть равных сторон (обзовем а) и шесть равных внутренних  углов

если соединить противолежащие вершины фигуры, то получим большие диагонали шестиугольника, которые являются также биссектрисами внутренних углов 

центр вписанной окружности (обзовем т.О) совпадает с точкой пересечения больших диагоналей шестиугольника и делит диагонали пополам (отрезки b)

каждая сторона -а и два отрезка -b образуют ШЕСТЬ равных равнобедренных треугольников с вершинами в т.О (обзовем

сумма всех ШЕСТИ углов  с вершинами в т.О -образует полнный развернутый угол 360 град

значит один угол

так как треугольники равнобедренные , то углы при основании (обзовем

так как все углы в треугольниках равны 60 град ,значит треугольники РАВНОСТОРОННИЕ , т.е. a = b

вписанная окружность касается каждой стороны шестиугольника, кратчайшее расстояние от центра  окружности до точки касания - это перпендикуляр -это радиус окружности - это высота треугольника -r

высота треугольника (r), половина стороны шестиугольника (a/2) и отрезок (b)

образуют прямоугольный треугольник, тогда по теореме Пифагора

r^2 = b^2 - (a/2)^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2 (1-1/4) = a^2*3/4

тогда сторона шестиугольника  a =r*2/√3

площадь каждого равностороннего  треугольника S∆1 = 1/2*r*a =1/2*r*r*2/√3 =r^2/√3

площадь шестиугольника - это сумма ШЕСТИ треугольников

S = 6*S∆1 =6* r^2/√3 = 6*√3 r^2/ (√3*√3) = 6*√3 r^2/ 3 = 2√3 r^2

ДОКАЗАНО