Поскольку прямую которую надо построить проходит через середину стороны и перпендикулярно диагонали, значит она будет параллельна другой диагонали и будет являтся средней линии любого из четырех маленьких равных треугольников. То есть половину диагонали она будет делить тоже пополам. 

Как я понял построить надо чертежными инструментами, значит нам понадобится только циркуль. 

Ставим иголку циркуля в точку пересечения диагоналей и проводим окружность любым радиусом, НО больше половины полудиагонали, и меньше самой половины диагонали. Не сбивая радиус, ставим иголку циркуля в соответствующую вершину ромба и проводим окружность. 

Соединяем точки пересечения окружностей прямой. Это прямая и будет прямой, которая проходит через середину стороны ромба и перпендикулярна его диагонали.