В трапецию можно вписать окружность тогда, когда сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.

Пусть, дана трапеция АВСD с основаниями АС и ВD; AB = CD (AB и CD - боковые стороны равнобедр. трапеции)

Следовательно, если окружность вписана в трапецию, то:

АС + BD = AB + CD, т.к. AB = CD => 

АС + BD = 2AB

Пусть, XY - средняя линия. Тогда

XY = (AC + BD) / 2

C учетом вышесказанного:

XY = (AC + BD) / 2 = 2AB / 2 = AB

Т.е. XY = AB, Ч.Т.Д.