Вообще, думаю, неверно будет говорить, что сила натяжения нити не учитывается. Она учитыватся, ведь именно она и заставляет шарик на нитке возвращаться в положение равновесия. Но период, то есть время полного колебания, связан больше со скоростью/ускорением, то есть с величинами кинематики. Они связаны с силой, но без неё в расчётах можно обойтись (вы не найдёте силы в уравнениях колебательного или даже равноускоренного движения – только перемещение, скорость, ускорение, время, частота). Кинематика показывает, что период колебаний нитяного маятника можно выразить через единственный параметр маятника – длину нити! Ну и ускорение свободного падения.

Период гармонических колебаний нитяного маятника в поле силы тяжести:
T = 2*π*√(L/g)
π ≈ 3,14 – число "пи";
L – длина нити, м;
g ≈ 10 м/с² – ускорение свободного падения.

Видно, что период не зависит от силы натяжения нити напрямую. Да, если натяжение будет больше, то обычно это будет вызвано тем, что масса шарика стала больше – значит на ускорение это не повлияет, значит и на период тоже.

Я не зря выделил слово "обычно". В данной задаче сила натяжения нити увеличится не за счёт массы, а за счёт дополнительной силы со стороны электрического поля. Это увеличит ускорение шарика при его отклонении, то есть уменьшит период колебаний. Но мы увеличение натяжения нити просто учтём прибавкой к ускорению свободного падения g величины q*E/m (q – заряд шарика, E – напряжённость поля, m – масса шарика):
T = 2*π*√(L/(g+q*E/m))
T = 2*π*√(0,5/(10+10^(-8)*10^6/0,002))
Обращу внимание, что все величины я подставил в СИ. Результат тоже в СИ – секунды.
T ≈ 1,15 с.

Надеюсь, мои подробные рассуждения более менее прояснили суть вопроса.