Ответ:

Дано:

Треугольники ABC и A1B1C1

Углы A и A1​ равны 60∘

Углы C и C1​ прямые и равны 90∘

CB=C1B1=10

CM=4

AM и A1M1​ — биссектрисы

Найти длину отрезка M1B1-?

Решение:         

Из треугольника ABC:

Угол A=60∘, угол C=90∘, следовательно, угол B=30∘

CB=10, CM=4, значит MB=CB−CM=10−4=6

По свойству биссектрисы:

Биссектриса AM делит сторону BC в отношении AB:AC

В прямоугольном треугольнике ABC с углами 30∘,60∘,90∘:

AB=CB/sqrt3=10/sqrt3, AC=2CB/sqrt3=20/sqrt3

Отношение AB:AC=1:2, следовательно, CM:MB=1:2, что соответствует данным CM=4, MB=6

Из треугольника A1B1C1​:

Углы A1=60∘, C1=90∘, следовательно, угол B1=30∘.

C1B1=10

Биссектриса A1M1​ делит сторону B1C1​ в отношении A1B1:A1C1​

В прямоугольном треугольнике A1B1C1​ с углами 30∘,60∘,90∘:

A1B1=C1B1/sqrt3=10/sqrt3, A1C1=2C1B1/sqrt3=20/sqrt3

Отношение A1B1:A1C1=1:2, следовательно, C1M1:M1B1=1:2

Пусть M1B1=x, тогда C1M1=x/2

Так как C1B1=C1M1+M1B1=x/2+x=3x/2=10,  отсюда находим x:

3x/2=10  ⟹  x=20/3=6.7

M1B1=6.7