Ответ:

1)

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = x1+4x2 → max, при системе ограничений:
3x1+5x2≤30, (1)
5x1+3x2≤30, (2)
x1-x2≤1, (3)
x1 ≥ 0, (4)
x2 ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
 

рис.1-1

или

рис.1-2

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

рис.1-3

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = x1+4x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = x1+4x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1;4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

рис.1-4

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
3x1+5x2=30
x1=0
Решив систему уравнений, получим: x1 = 0, x2 = 6
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(x) = 1*0 + 4*6 = 24

2) (рис. для этого решения во втором ответе)

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 2x1+4x2 → max, при системе ограничений:
2x1+5x2≤30, (1)
5x1+2x2≤30, (2)
x1-x2≤2, (3)
x1 ≥ 0, (4)
x2 ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

рис.1-1

или

рис.1-2

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

рис. 1-3

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x1+4x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 2x1+4x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2;4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

рис.1-4

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x1+5x2=30
5x1+2x2=30
Решив систему уравнений, получим: x1 = 4.2857, x2 = 4.2857
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(x) = 2*4.2857 + 4*4.2857 = 25.7143

Ответ: 

см. в приложении рис. для 2 решения