Ответ:

Давайте начнём с исходного уравнения: 6000/(64+x^2)^1/3=5000/(25−(20−x)^2)^1/3

Чтобы проще разобраться, обозначим: A=64+x^2​, B=25−(20−x)^2​.

Тогда уравнение примет вид 6000/ A^1/3=5000/ B^1/3

Перемножим крест-накрест: 6000⋅B^3=5000⋅A^3.

Можно разделить обе части на 1000 и упростим: 6B^3=5A^3

Теперь поменяем местами дроби и перепишем как B^3/A^3=5/6​.

Перепишем левую часть как (B/A)^3=5/6​, значит, B/A=(5/6)^1/3​.

Теперь подставим обратно A и B: sqrt(25−(20−x)2)/ sqrt(64+x^2)=(5/6)^1/3​​.

Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней: 25−(20−x)^2/(64+x^2)=(5/6)^2/3.

Расчёт чуть проще, если обозначить α=(sqrt(5/6)^1/3)^2 — число, которое мы можем вычислить или оставить символически. Отсюда выразим уравнение: 25−(20−x)2=α(64+x2).

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение по x, которое решим классическим способом.

Важный момент — проверим, что подкоренные выражения не отрицательны: 64+x^2≥0 -всегда верно, а 25−(20−x)^2≥0 накладывает ограничения на x.

1)

x2 + 64 = 0

В квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0

a = 1

b = 0

c = 64

x = -b ± D2a,    D = b2 - 4ac

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b2 - 4ac = 02 - 4·1·64 = 0 - 256 = -256

Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных решений.

2)

Решив полученное квадратное уравнение, получим два значения для xx (помните проверять область допустимых значений, чтобы корни были определены).

- x2 + 40x - 375 = 0

В квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0

a = -1

b = 40

c = -375

x = -b ± D/2a,    D = b2 - 4ac

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b2 - 4ac = 402 - 4·(-1)·(-375) = 1600 - 1500 = 100

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x1 = -b - √D/2·a = -40 - 1002·(-1) = -40 - 10/-2 = -50/-2 = 25

x2 = -b + √D/2·a = -40 + 1002·(-1) = -40 + 10/-2 = -30/-2 = 15