ABCD- параллелограмм. Диагонали параллелограмма при пересечении делятся пополам.

В треугольнике ВСD

ВО=OD=> CO - медиана треугольника ВСD.

BK=CK( дано)=>

DK- медиана ∆BCD. 

Н- точка пересечения медиан, угол CHD=90°( дано)

Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 

Примем КН=а, тогда DH=2a

Примем ОН=х, тогда СН=2х

––––––––––––––

Из прямоугольного ∆ КСН по т.Пифагора 

СН²=КC²-КH²

4х²=(√5)²-a² 

Из прямоугольного ∆ СDH по т.Пифагора 

СН²=CD²-DH²

4x²=8-4a²

Приравняем значения 4х* из двух уравнений:

8-4a²=(√5)²-a²

3a²=8-5

a²=1⇒

a=1

Подставим это значение в уравнение 

4х²+4а²=8 ⇒

х²+1²=2

х=1

Из прямоугольного ∆ ОНD по т.Пифагора 

ОD²=OH²+DH²=1+4=5

OD=√5

BD=2√5 (ед. длины)