x^2+(t+10)x+1>0; Это парабола, ветви которой направлены верх. Надо найти при каком t парабола будет выше оси 0x то есть не будет иметь вещественных корней.
Квадратное уравнение не имеет вещественных корней, если дискриминант меньше нуля
D<0;
D=(t+10)^2-4<0;
(t+10)^2<4;
(t+10)^2<2^2; так как степени одинаковые, значит левое основание должно быть меньше правого:
t+10<2;
t<-8;
Значит при любом t<-8, неравенство будет верным при любых значениях x.

X^2+(t+2+8)x+1>0 при D<0,
D=(t+10)^2-4*1*1=t^2+20t+100-4=t^2+20t+96<0,
D1=100-96=4,
t1=-10+2=-8,
t2=-10-2=-12, ветви вверх; f(t)<0 при t (-12;-8)