Координаты вершин пирамиды ABCD задаются как A (3; -1; 0), B (0; - 7; 3), C (-2; 1; -1), D (3; 2; 6). Докажите, что прямая AB перпендикулярна плоскости ADC.

Находим нормальный вектор плоскости ADC как векторное произведение векторов AD и AC.

Вектор AD = D (3; 2; 6) - A (3; -1; 0) = (0; 3; 6).

Вектор AC = C (-2; 1; -1) - A (3; -1; 0) = (-5; 2; -1).

Решаем векторное произведение с применением схемы Саррюса.

  i       j      k|       i       j

 0      3     6|       0      3

-5      2    -1|      -5     2 = -3i – 30j + 0k – 0j – 12i + 15k =

                                    = -15i – 30j + 15k.

Найден нормальный вектор плоскости ADC (-15; -30; 15).

Теперь находим вектор АВ.

АВ = B (0; - 7; 3) - A (3; -1; 0) = (-3; -6; 3).

Как видим, вектор АВ коллинеарен с коэффициентом пропорции 1/5 нормальному вектору плоскости ADC, и поэтому он перпендикулярен этой плоскости.

Утверждение, что прямая AB перпендикулярна плоскости ADC, доказано.