Окружность вписанного в 60° сектор является так же окружностью, вписанной в равносторонний треугольник, высотой котороно является радиус исходной окружности. На рисунке этот радиус красный.
В равностороннем треугольнике высота (она же медиана) точкой пересечения делится в отношении 2 к 1 начиная от угла. 
И радиус дочерней окружности равен 1/3 от высоты или от радиуса исходной окружности
R₁ = R₀/3
Исходная и дочерняя окружности подобны друг другу с коэффициентом подобия k = 1/3,
значит, площадь дочерней окружности будет равна k² от площади исходной
S₁ = S₀/9