Дана правильная шестиугольная пирамида.
Сторона а основания равна апофеме А.
Найти угол между боковой гранью и основанием.
Примем длину стороны и апофемы за 1.
Дано: Сторона основания а = 1 Апофема А = SM = 1

Проекция апофемы на основание - это радиус вписанной окружности r(o)впис = OM = a*cos 30° = 1*(√3/2) ≈ 0,866025.
Высота H пирамиды равна:
H = √(A² - r²) = √(1² - (√3/2)²) = 1/2.
Тангенс угла наклона двугранного угла между боковой гранью и основанием равен плоскому углу в плоскости, перпендикулярной линии пересечения плоскостей, то есть к ребру пирамиды.
tg a = H/r = 0,5/(√3/2) = 1/√3 ≈ 0,523599.
Этому тангенсу соответствует угол 30  градусов.