Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие(внутренние или внешние) углы равны, то такие прямые параллельны.

Доказательство:

Дано: прямые ,  и ;  .
Требуется доказать: .

Возьмем точку  — середину  и проведем . Докажем, что . (по стороне и двум прилежащим углам). В них . Но . Следовательно, : . Если будет дано, что равны внешние накрест лежащие углы, то обязательно будут равны и внутренние накрест лежащие углы. И для этого случая теорема доказана. 

Теорема 2 (второй признак параллельности)

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:

Воспользуйтесь рисунком и убедитесь, что из равенства соответственных углов следует равенство внутренних накрест лежащих углов (используйте свойство вертикальных углов) и по первому признаку параллельности прямые параллельны.

Теорема 3 (третий признак параллельности)

Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних (внутренних или внешних) углов равна , то прямые параллельны.

Доказательство:

Доказывается аналогично второму признаку параллельности (используйте свойство смежных углов).