Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO = OC, BO = OD. Так как углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольник AOB равен треугольнику COD, и, следовательно, углы (OAB) и (OCD) равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых (AB) и (CD) и секущей (AC) и по теореме 3.2 прямые (AB) и (CD) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов (OAD) и (OCB) и по теореме 3.2 – параллельность прямых (AD) и (BC). Из полученных результатов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.

Рассмотрим треугольники АОD и ВОС
1. ∠ADO=∠CBO как внутр накрест лежащие
2.  ∠DAO=∠BCO как внутр накрест лежащие
3.AD=BC противолеж стороны паралл
(след треугольники равны, по двум углам и стороне между ними)
соответств стороны равны
AO=CO, BO=DO.