Следствием теоремы о площади треугольника через его сторону и высоту проведённую к ней, является то, что отношение площадей треугольников с одинаковой высотой равно отношению их сторон, к которым проведены высоты. Если стороны равны а и b, то S(АВД):S(АСД)=(ah/2):(bh/2)=a:b или a/b. Половины высот h/2 сокращаются, поэтому S(АВД)/S(АСД)=ВД/СД.

Также, рассмотрев площади треугольников АВД и АСД найденные через стороны АВ, АС и общую для них АД, а также  через равные углы ВАД и САД, можно записать следующее:
S(АВД):S(АСД)=((АВ·АД·sinα)/2):((АС·АД·sinα)/2)=АВ:АС или АВ/АС. В двух уравнениях выражение (АД·sinα)/2 сокращается и остаётся АВ/АС.

Далее всё понятно.