Рассмотрим трапецию, образованную диаметрами оснований. В ней MC = 4, ND = 9. MC = KC, ND = KD как касательные к окружности, проведённые из одной точки. Не сложно показать что ∠MOC = ∠KOC, ∠KOD = ∠NOD. Обозначим их α и β соответственно. Тогда 2α + 2β = 180°, значит, α + β = 90°. Значит, треугольник COD прямоугольный.
Треугольники COK и ODK подобны. В подобных треугольниках соотношения соответствующих сторон равны. Значит, CK/OK = OK/KD
CK и KD мы знаем. Путём несложных вычислений найдём радиус сферы. Дальше - дело техники =)

Elektroneg правильно начал, мне осталось только довести до конца.
Радиус вписанного шара
r = OK = 6
Площадь поверхности шара
S = 4pi*R^2 = 4pi*36 = 144pi