Нам придется применять теорему косинусов:



где a, b, c - стороны треугольника, а  - угол, лежащий против стороны c.

Из тр-ка ADB 

 

Из тр-ка ADC

 

Опустим высоту DE на основание ABC. Из точки E опустим перпендикуляры EF и EG на стороны AB и AC соответственно. По теореме о трех перпендикулярах DF перпендикулярно AB, DG перпендикулярно AC. Прямоугольные треугольники ADF и ADG равны по общей гипотенузе и острому углу. Поэтому DF=DG, а тогда равны треугольники DFE и DGE, откуда EF=EG, то есть точка E лежит на биссектрисе угла A. Значит, углы FAE и GAE равны 45 градусам.

AF=AG мы ищем как катеты, лежащие против угла в 30 градусов - такой катет равен половине гипотенузы; AF=AG=6/2=3. Вторые катеты ищем или из теоремы Пифагора, или с помощью тригонометрии.  Так  или иначе, . Далее из равнобедренного прямоугольного треугольника AEF (или равного ему треугольника AEG) находим EF=AF=3, а из треугольника DFE (или из равного ему DGE) по теореме Пифагора находим DE - высоту пирамиды:



Площадь основания ABC равна половине произведения катетов:  


Объем пирамиды равен 

Далее найдем площадь треугольника BDC, запишем объем пирамиды через площадь этой грани и высоту, на нее опущенную, приравняем к полученному выше объему, откуда найдем неизвестную высоту. Требуемое расстояние, очевидно, в 2 раза меньше этой высоты.

мы уже получили ранее, BC находим из прямоугольного треугольника ABC:



Для того, чтобы найти площадь треугольника BDC, опустим высоту DK на BC (в силу равнобедренности этого треугольника высота будет одновременно медианой и биссектрисой);





Приравняв друг к другу две формулы для вычисления объема пирамиды и сократив одну треть, получаем, что для нахождения неизвестной высоты, нужно произведение известной высоты и площади грани разделить на площадь второй грани. Поэтому высота, опущенная на грань BCD, равна 

 

То, что требуемое расстояние в 2 раза меньше, предлагается доказать самостоятельно. Впрочем, интуитивно это совершенно очевидно: представьте себе лестницу, приставленную к стене под некоторым углом. Если расстояние от верхней ступеньки до пола известно, то, спустившись по лестнице до ее середины, уменьшим расстояние до пола в два раза.

Ответ: 

Замечание. Ответ получился не самый приятный. Но искать ошибку, когда ночь на дворе, не слишком приятно. Поэтому извините, если что не так.