Отношение сторон данного треугольника - 3:4:5, т.е. это так называемый египетский треугольник. Он прямоугольный, катеты 12 и 16. 
Высот в треугольнике 3. В прямоугольном две из них - катеты, и одна проведена к гипотенузе. Высота к гипотенузе - перпендикуляр из вершины прямого угла к прямой, содержащей гипотенузу. Катеты из той же точки - наклонные к гипотенузе.  Наклонная длинней перпендикуляра, если они проведены из одной точки к одной и той же прямой. 
Ясно, что меньшей будет высота h(c), проведенная к гипотенузе. 
S=a•h/2⇒ h(с)=2S/a
Для прямоугольного треугольника справедлива формула
S=a•b/2. где a и b - катеты.
2S=12•16=192
h(c)=192:20=9,6 см.
-----------
Примечание. Для произвольного треугольника, длина сторон которого известна, площадь можно найти по формуле Герона. Наименьшей высотой является высота, проведенная к наибольшей стороне.