1. Фигура АВСD разбита на два прямоугольных треугольника. Её площадь - сумма площадей этих треугольников. 
SΔАВС=AB*BC/2=2*2√3/2=2√3 ед²;
Против угла 30° лежит катет в два раза меньше гипотенузы. АС=2*2=4 ед.
SΔСAD=4*4/2=8 ед².
Площадь АВСD - 8+2√3 ед².

2.
а)  α и β - смежные углы. Их сумма равна 180°. Составляем уравнение:
α+β=(α=3β)=3β+β=4β=180°
β=180/4=45°.
б)  углы α, β, γ в сумме дают 180° (развернутый угол). Составляем уравнение:
α+β+γ=(α+γ=β)=2β=180
β=90°
3.
Для доказательства даем определение квадрата:
а) все стороны одинаковые;
б) все углы одинаковые по 90°.
Доказательства:
а). Все треугольники изображенные на рисунке одинаковые по двум сторонам и углу между ними. Значит и одинаковы стороны получившегося четырехугольника.
б) сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. Угол, образованный углом четырехугольника и суммой острых углов - развернутый - 180°. Значит угол четырехугольника - 180-90=90°. Это справедливо для каждого угла четырехугольника.
У четырехугольника все стороны равны и все углы равны по 90° ⇔ этот четырехугольник квадрат.

S(ABCD) = S(ABC) +S(ACD) = BC*AB/2 + AC*CD/2 =  BC*AB/2 +AC²/2  = BC*AB/2  +  (2BC)²/2 =  BC*AB/2  + 2 *BC² =(2*2√3) /2+ 2*2² =2√3 +8 .
* * *  т.к . ∠BAC =30°⇒ AC =2*BC   и   ∠CAD = ∠CDA=45°⇒ AC= CD * * * 
-----
a) α +β =180°   ; 3β + β =180°⇔4β=180° ⇒ β =45° .
б) ( α +γ )  + β =180 ° ;   β + β =180° ⇒ β =90° .