Построим искомую пирамиду, основанием которой будет правильный треугольник АВС, а вершина - М. Точку пересечения медиан в ΔАВС назовем О. По условию ОМ=6. рассмотрим медиану МК, которая проведена к стороне АС. Боковые грани пирамиды - равнобедренные треугольники. Боковая грань АМС наклонена к основанию АВС под углом 30°, ∠МКО=30°.
ΔМКО - прямоугольный и имеет острый угол 30°. Значит гипотенуза МК в два раза больше катета ОМ. МК=12. ОК=6√3
Построим ОС и рассмотрим ΔОСК. Он прямоугольный и также имеет острый угол в 30°. Значит ОС=12√3.
СК²=ОС²-ОК²=144·3-36·3=324.
СК=√324=18.
АС=2СК=2·18=36.
Вычислим боковую поверхность пирамиды, которая состоит их трех равных между собой граней.
S=3·0,5·12·36=648 кв ед.
Ответ: 648 кв.ед.