Обозначим длины сторон треугольника за a,b,c. Пусть a≤b
Известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту. Следовательно,
1/2*ax=1/2*by=1/2*cz=S, ax=by=cz.

Покажем, что x>z и y>z. Действительно, из равенства ax=cz следует x=cz/a, но a1*z=z. Аналогично, y=(c/b)*z>1*z=z. Таким образом, высота z, проведенная к наибольшей стороне треугольника c, меньше двух других высот, что и требовалось доказать.