8) Т.к. призма прямая, то треугольник CBB₁ прямоугольный, значит CB=√91=C₁B₁. Проведем высоту B₁H в треугольнике A₁B₁C₁. Эта высота будет перпендикулярна плоскости AA₁C. Найдем ее из теор. Пифагора: √(91-16)=5√3. Проведем HC. Найдем синус угла B₁CH: 5√3/10=√3/2, т.к. синус равен √3/2, то угол равен 60°. Ответ: 60°
10) B₁C₁ - перпендикуляр к плоскости DCC₁. Проведем C₁D - проекция. B₁D - наклонная. Значит искомый угол - B₁DC₁, что бы найти его косинус нам нужно знать C₁D и B₁D. AB=DC=√11, CC₁ = 4, значит C₁D=3√3. B₁C₁=3, значит B₁D=6, косинус угла равен: 3√3/6=√3/2. Ответ: √3/2
9) BC - перпендикуляр к плоскости AA₁C. Проведем A₁C - проекция, BA₁ - наклонная к пл. AA₁C. Тогда искомый угол - BA₁C. AB=2, AA₁=2√2, зн. A₁B=2√3, значит синус искомого угла равен √3/2√3=1/2, значит угол равен 30°. Ответ: 30°.

7.

Проведём из точки        перпендикуляр       на ребро   

Плоскость       которой принадлежит прямая        перпендикулярна плоскости        а значит, прямая        перпендикулярна плоскости   

Отсюда следует, что плоскость        проведённая через прямую        перпендикулярна плоскости        а значит, плоский угол        и есть искомый угол между прямой        и плоскостью   

Треугольник        равносторонний, а значит, его высоты одновременно являются и медианами, стало быть   

Из прямоугольного треугольника        по теореме Пифагора найдём гипотенузу:   



Из прямоугольного треугольника        по теореме Пифагора найдём гипотенузу:   



Зная прилежащий к искомому углу        катет        и гипотенузу        мы можем найти косинус искомого угла:





О т в е т :   




8.

Проведём из точки        перпендикуляр        на ребро   

Плоскость        которой принадлежит прямая        перпендикулярна плоскости        а значит, прямая        перпендикулярна плоскости   

Отсюда следует, что плоскость        проведённая через прямую        перпендикулярна плоскости        а значит плоский угол        и есть искомый угол между прямой        и плоскостью   

Треугольник        равнобедренный, а значит, его высота        одновременно является и медианой, стало быть   

Из прямоугольного треугольника   
по теореме Пифагора найдём гипотенузу:



Зная прилежащий к искомому углу        катет        и гипотенузу        мы можем найти косинус искомого угла:





О т в е т :   




9.

    перпендикулярно        по условию.

Плоскость        которой принадлежит прямая        перпендикулярна плоскости        а значит, прямая        перпендикулярна плоскости   

Отсюда следует, что плоскость        проведённая через прямую        перпендикулярна плоскости        а значит плоский угол        и есть искомый угол между прямой        и плоскостью   

Из прямоугольного треугольника   
по теореме Пифагора найдём гипотенузу:



Зная противолежащий к искомому углу        катет        и прилежащий –        мы можем найти тангенс искомого угла:





О т в е т :   



продолжение на первом изображении > > >