в)

Треугольник        – равнобедренный, так как его боковые стороны образованы радиусами окружности. С другой стороны сумма углов любого треугольника равна        А значит сумма оставшихся углов        и        равна        В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а значит, эти углы равны между собой:





Откуда следует, что:   

Стало быть, это не просто равнобедренный треугольник, а равносторонний. Т.е.:



Углы        и        – опираются на одну и ту же дугу        второй – как угол между хордой и касательной. Из этого следует, что:



В треугольниках        и        равны два угла (один у них общий), а значит эти треугльники подобны:   

На этом основании составим пропорцию:







Поскольку        то   





Кроме касательной        так же можно построить ещё и касательную        по другую сторону от окружности. Заметим, что треугольники        как прямоугольные по катету и гипотенузе, а значит, равны и   


О т в е т : CK = CK' = 2 .




г)

Проведём касательную        из той же точки        

Углы        и        – опираются на одну и ту же дугу        второй – как угол между хордой и касательной. Из этого следует, что:



В треугольниках        и        равны два угла (один у них общий), а значит эти треугольники подобны:   

На этом основании составим пропорцию:






Поскольку точки A и B были выбраны произвольно, то точно такие же рассуждения относятся и к точкам C и D с той же касательной MK. Из этого следует, что:




Сопоставляя два последних равенства, получаем, что:   

    что и требовалось доказать.