Найдем второй катет по т. Пифагора

СВ = √(АВ²-АС²) = √(5²-4²) = √(25-16) = √9 = 3

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Пусть биссектриса - АК.

 Согласно теореме о биссектрисе угла, составим пропорцию:
АС:СК=АВ:ВК
Пусть СК=х, тогда КВ=(3-х)

Составим  пропорцию:

4:х=5:(3-х)

5*х = 4*(3-х)
5х=12-4х
9х=12
х=12/9=4/3

Найдем биссектрису АК  по т. Пифагора:
АК²=АС²+КС²=16+16/9=160/9
АК=√(160/9)=(4√10):3 = 4/3√10