Четырехугольная пирамида SАВСД называется правильной, если ее основание АВСД– квадрат (АВ=ВС=СД=АД), а высота SO проходит через центр основания O.
Диагональное сечение пирамиды SАВСД - это сечение (ΔASC или ΔBSD), проходящее через вершину S и диагональ основания AC или BD.
Значит  SА=SВ=SС=SД=АС=ВД.
Из равностороннего ΔASC, зная его площадь S=√3*АС²/4, найдем сторону АС (диагональ основания):
АС²=4S/√3=4*6√3/√3=24
АС=2√6.
Тогда сторона основания АВ=АС/√2=2√6/√2=2√3
Также найдем высоту конуса SO (высота  ΔASC):
SO=АС*√3/2=2√6*√3/2=3√2
Объем пирамиды V=SO*АВ²/3=3√2*(2√3)²/3=12√2