Использована формула: косинус двойного аргумента)))
т.к. угол острый (в первой четверти) -- квадратный корень со знаком "плюс" -- косинус угла положителен)))

Заметим  что по  теореме синусов:
m/sina=AC/sinB=AC/sinD
sinB=sinD
То  есть  возможно 2 варианта:
1) ΔB=ΔD;
2)ΔB=180-ΔD;
Положим что : ΔB=ΔD 
Тогда из соображений постоянства суммы углов треугольника:
ΔBCA=ΔACD.  Отсюда  следует  что  треугольники BCA  и  ACD равны по  стороне  и двум прилежащим углам.  Но  тогда  AB=AD,что  противоречит  условию.  А  значит :ΔB+ΔD=180.  А  это  значит  что  около  4-угольника ABCD можно  описать  окружность. (Окружность  нарисована схематически  замкнутой линией) . А  отсюда в свою очередь  выходит  что            ΔС=180-45=135
Откуда: ΔСBD=ΔСDB=45/2;
То  опустив медиану  с  C на  BD (она  же и высота)
Очевидно  что  BD=2*m*cos(45/2)
Ну  и наконец самое интересное: 
Запишем  теорему Птолемея  для вписанного в окружность  4 угольника:
m*AB+m*AD=8*BD=16*m*cos(45/2)
Откуда после сокращения  на  m получим:
AB+AD=16*cos(45/2)
Осталось  вспомнить тригонометрию:
cos^2(45/2)=(1+cos45)/2=(1+√2/2)/2=(2+√2)/4
сos(45/2)=√(2+√2)/2
AB+AD=8*√(2+√2)