Решаем векторным методом.
Пусть а - длина стороны квадрата ABCD,
b - длина стороны кварата BFKL
Я буду писать BN - подразумевая, что это вектор с началом
в точке B и концом в точке N.

BN=1/2*(BA+BL), так как |BN| - медиана
FC=FB+BC, из треугольника BFC

2*BN*FС=BA*FB+BA*BC+BL*FB+BL*BC=
a*b*cos(pi-FBA)+a*a*cos(pi/2)+b*b*cos(pi/2)+a*b*cos(CBL)=
a*b*(cos(CBL)-cos(FBA))

Заметим, что СBL+pi/2=FBA+pi/2, то есть CBL=FBA
Получаем:
BN*FС=0
Значит, угол между векторами BN и FC равен pi/2 (90 гр)
Следовательно, отрезки |BN| и |FC| перпендикулярны,
что и требовалось доказать.