Окружности радиусов 4 и 18 с центрами О1 и О2 соответственно касаются в точке Р. Прямая, проходящая через точку Р, вторично пересекает меньшую окружность в точке F, а большую в точке Е. Найдите площадь треугольника FЕО1, если угол РЕО₂ =30°
———
Так как не указано, каким образом касаются окружности,  может быть два варианта: 
1) окружности касаются внутренним образом; 
2) окружности касаются внешним образом.
Рассмотрим первый вариант (См. рисунок) 
Треугольник РО₂Е - равнобедренный ( его стороны - радиусы).
Угол О₂EР=30° по условию.
Угол при Р - равен 30°
Треугольник FО₁Р - на том же основании равнобедренный.
Углы в этих треугольниках при О1 и О2 (из суммы углов треугольника ) равны 120°
 Очевидно, что площадь треугольника EFO₁  равна разности площадей треугольника О₂РЕ и суммы площадей Δ FО₁Р и Δ ЕО₂О₁
Найдем площадь  каждого из этих треугольников по формуле
S=ab sin α:2
S (РЕО₂)=(18*18:√3):2):2= 81√3 
S (FPO₁)=4*4(:√3):2):2=4√3
S (О2ЕО₁)=14*18*(:√3):2):2=63√3
S (EFO₁)=S (РЕО₂)- (S (FPO₁)+S (О₁ЕО₂))=(81-4-63)√3=14√3
———
Решение второго варианта приводить не буду, сможете сделать это самостоятельно по плану:
1) Найти площадь треугольника ЕО₂О₁ 
2) Найти площадь треугольника PFO₁
 3) Найти площадь ЕРО₂
4) Из площади треугольника ЕО₂О₁  вычесть площадь треугольника ЕРО₂ и прибавить к ней площадь треугольника FPO₁
----------
[email protected]