У вписанной в треугольник окружности центром является точка пересечения биссектрис: АО и ОВ -биссектрисы,  Радиусы проведенные в точку касания перпендикулярны сторонам треугольника. По условию АР =8 см, РВ=12 см.
Из равенства треугольников АКО и АРО следует АК=АР=8 см, Из равенства треугольников BNO и BPO следует BN=BP=12 см.
CKON - квадрат, CK=CN=r,  АС=8+r,  CB=12+r
По т. Пифагора 
Получаем 

с четным коэффициентом
Т к  посторонний корень

AC=12 см,  CB=16 см,  S= кв см