Доказано, см. вложение
(18)

Так как диаметр  окружности  будет равен   боковой стороне  d=x =h   высота .
если в трапецию можно вписать но следовательно 
x+y=a+b  где  х и у      боковые строны
а так как  x=h => h=2r = x=2r

тогда 
x+y=a+b
x^2=y^2-(a-b)^2
x^2=(a+b-x)^2-(a-b)^2
x^2=(x-2a)(x-2b)    = x^2-2bx-2ax+4ab    x^2=x^2-2bx-2ax+4ab
2bx+2ax=4ab
x(2b+2a)=4ab
x=2ab/a+b
x/2 = ab/a+b =r

то есть высота равна  2ab/a+b 
половина  ab/a+b   а это  уже радиус  
ставим  S=(a+b)*r = (a+b)*ab/(a+b)=ab