Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е. 

Я дублирую свое же решение znanija.com/task/2316435

Пусть ВЕ II AC, и точка Е лежит на продолжении АР.

Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны). 

Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)

Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;

Итак, ВР = ВС/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР

Sabp = S/3; (S - площадь треугольника АВС, у тр-ка АВС и тр-ка АРВ общая высота, поэтому площади относятся, как стороны)).

Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ (прием тот же - общая высота, и т.д.), то 

Sakm = S/4;

Точно так же и Sakb = S/4;

Таким образом, площадь треугольника BPK равна

Sbpk = Sapb - Sakb = S*(1/3 - 1/4) = S/12;

Sbpk/Sakm = (1/12)/(1/4) = 1/3;

Ответ 1/3;