Благодарю за интересную задачу!)

Осевое сечение – прямоугольный равнобедренный треугольник. Радиус вписанной в него окружности по условию равен (3√2 – 3).

Тогда катеты этого треугольника (образующие конуса) равны 6*(√2-1)/(2 - √2).

Гипотенуза этого треугольника (диаметр основания конуса) равна (12 - 6√2)/(2 - √2),

Радиус основания конуса равен половине гипотенузы, т.е. (6-3√2)/(2-√2).

Высота, выведенная из прямого угла (высота конуса) равна (6√2-6)/(2√2-2).

И, наконец, объем конуса равен 1/3*π*(6√2-6)/(2√2-2)* (6-3√2)²/(2-√2)² = 9π.

Ответ: 9π

сделаем построение по условию

на рисунке осевое сечение шара и конуса (вертикальный разрез через вершину конуса)

r -радиус вписанной окружности, он же радиус шара вписанного в конус

r=3√2-3

треугольник АВС –равнобедренный, прямоугольный   

BC1 - высота,биссектриса,медиана

OB1=r -перпендикуляр в точке касания

OС1=r -перпендикуляр в точке касания

треугольник B1BO –равнобедренный, прямоугольный   < BB1O =90 град

BO=B1O / sin

BC1=BO+OC1=6-3√2 +r =6-3√2 +3√2-3=3    - это высота пирамиды

треугольник ABC1 –равнобедренный, прямоугольный   

AC1=BC1=3

AC1– это радиус основания

Площадь основания So= pi*AC1^2 = pi*3^2=9pi

Объем конуса  V=1/3 *BC1 *So=1/3 *3 *9pi = 9pi =9п

Ответ  9п