Вершина тетраэдра проектируется в центр противоположной грани. Поэтому проекция высоты любой грани на другую грань

(ту, которая имеет с этой гранью общее ребро, к которому эта высота проведена :) раз какая-то грань прнята за основание, то речь идет о проекции апофемы на основание)

равна расстоянию от центра грани (основания) до ребра, то есть радиусу вписанной окружности. Который равен одной трети высоты (ну, все грани одинаковые :)). Поэтому можно стразу записать ответ - угол равен arccos(1/3). И конечно же, он не зависит от длины стороны.