Вопрос по геометрии:
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найти площадь четырехугольника.
- 27.01.2017 12:41
- Геометрия
- remove_red_eye 11169
- thumb_up 20
Ответы и объяснения 1
Пусть
K,
L,
Mи
Nсередины сторон соответственно
AB,
BC,
CDи
ADвыпуклого четырёхугольника
ABCD,
LN = 2,
KM = 7.
Отрезки
и
MN —средние линии треугольников
ABCи
ADC,поэтому
KL ‖ AC,
KL = 1 2 AC,
MN ‖ AC,
MN = 1 2 AC,значит, четырёхугольник
KLMN —параллелограмм, а так как его диагонали
KMи
LNперпендикулярны, то это — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т. е.
S KLMN = 1 2 · 2 · 7 = 7.
Поскольку
средняя линия треугольника
ABC,площадь треугольника
KBLравна четверти площади треугольника
ABC.Аналогично, площадь треугольника
MDNравна четверти площади треугольника
ADC, поэтому
S △KBL + S △MDN = 1 4 S △ABC + 1 4 S △ADC = 1 4 (S △ABC + S △ADC ) = 1 4 S ABCD .
Аналогично,
Следовательно,
S KLMN = S ABCD − S △KBL − S △MDN − S △KAN − S △MCL =
= S ABCD − 1 4 S ABCD − 1 4 S ABCD = S ABCD − 1 2 S ABCD = 1 2 S ABCD ,
S ABCD = 2S KLMN = 2 · 7 = 14.
- 28.01.2017 04:52
- thumb_up 28
Знаете ответ? Поделитесь им!
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.