Сумма углов четырехугольника равна360°, как и градусная мера окружности. 

Разберемся в этой на первый взгляд очень простой задаче. 

Четырехугольник делит окружность на 4 дуги. 

Сумма их отношений - 18.
Каждая часть этого отношения равна
360:18=20° 

Градусные меры дуг, на которые разделена окружность, равны:
Дуга АВ=1*20=20°
ВС=2*20=40°
СД=29*8=160°
ДА=20*7=140°
Но не все так просто, оказывается.

Да, вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что центральный, равен его половине.
Разберемся, чему же равны центральные и вписанные углы.

Угол А опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОД , на сумму дуг ВвС и ДсС.
Угол А =(40+160): 2=100 ° 
Угол С опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОД, на сумму дуг АВ и АдД
Угол С=(140+20):2=80°.
Угол В опирается на ту же дугу, что центральный угол СОА, на сумму дуг СсД и АдД,
Угол В =(7*20+8*20):2=150°
Угол Д опирается на ту же дугу, что центральный угол СОА, на сумму дуг АВ и ВС
Угол Д=(20+2*20)=30°
Проверка

100+80+150+30=360°, т.е. именно сумма углов четырехугольника.