Ответ:

Для доказательства невозможности рождения электрон-позитронной пары (e^- + e^+)  одним гамма-квантом в вакууме мы используем фундаментальные законы сохранения: **сохранение энергии** и **сохранение импульса**. 

Рассмотрим этот процесс в системе отсчета, где мы можем максимально упростить выкладки:

1. Исходные данные:
Пусть гамма-квант имеет энергию E gamma и импульс vec (pgamma)
В вакууме он движется со скоростью света c. Связь энергии и импульса для фотона:

E gamma = pgamma*c

После рождения пара (электрон и позитрон) движется с некоторыми энергиями E- и + и импульсами vec(p-) и vec(p+). 
Для каждой из этих частиц, имеющих массу покоя me выполняется релятивистское соотношение:

E_^2 = (p_c)^2 + (me*c^2)^2, E+^2 = (p+c)^2 + (me*c^2)^2

 

2. Закон сохранения энергии
Суммарная энергия конечных частиц должна равняться энергии фотона:

Egamma = E- + E+

Так как энергия каждой массивной частицы строго больше энергии ее покоя ((E- > me*c^2) и \(E+ > me*c^2)), то:

Egamma > 2 me*c^2

Это **необходимое**, но **не достаточное** условие. Энергии фотона может хватать (например, 3 МэВ > 1.022 МэВ), но процесс всё равно запрещен.

3. Закон сохранения импульса (векторный)
Векторная сумма импульсов частиц равна импульсу фотона:

vec(p gamma) = vec{p}- + vec{p}+

Возьмем квадрат модуля этого векторного равенства:

pgamma^2 = p-^2 + p+^2 + 2 p- p+ cos (theta)

где (theta) — угол между направлениями разлета электрона и позитрона. Так как cos theta =< 1, мы можем записать неравенство:

pgamma^2 =< p-^2 + p+^2 + 2 p- p+ = (p- + p+)^2

Следовательно:

pgamma =< p- + p+ (при этом pgamma = {Egamma/c})

---

4. Ключевое противоречие (математическое доказательство)
Теперь воспользуемся свойствами релятивистской энергии. Для любой массивной частицы выполняется строгое неравенство:

E > p*c

(потому что (E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2)).

Применим это к электрону и позитрону:

E- > p- c,  E+ > p+ c

Сложим эти неравенства:

E_- + E_+ > c(p_- + p_+)

Но по закону сохранения энергии \(E_- + E_+ = E_\gamma\), а по закону сохранения импульса (pgamma =< p- + p+). 

Подставим \(Egamma = pgamma*c) в неравенство, полученное из энергий:

pgamma*c > c(p- + p+) => pgamma > p- + p+

Мы получили, что импульс фотона **строго больше** суммы импульсов электрона и позитрона:

pgamma > p- + p+

Но из закона сохранения импульса (неравенство треугольника) мы получили, что импульс фотона **не больше** суммы импульсов частиц:

p_\gamma \le p_- + p_+

 

5. Вывод

Одновременное выполнение условий pgamma > p- + p+ и pgamma =< p- + p+ невозможно**. 

Это противоречие возникает из-за того, что фотон - безмассовая частица (у него импульс и энергия связаны жестко (E=pc), а электрон и позитрон - массивные (у них (E > pc). 

**Единственный способ обойти этот запрет** :   наличие третьего тела (например, атомного ядра или другого фотона), которое примет на себя избыток импульса. В этом случае законы сохранения выполняются за счет того, что ядро забирает часть импульса, почти не забирая энергии (из-за своей огромной массы). Именно поэтому образование пар в вакууме одним фотоном невозможно, но возможно в поле кулоновского ядра или при столкновении двух фотонов.