Возводим равенство x/a + y/b + z/c = 1 в квадрат:
(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 + 2 xy / ab + 2 xz / ac + 2 yz / bc = 1

Сравниваем с тем, что надо доказать, и понимаем, что необходимо показать, что 2 xy / ab + 2 xz / ac + 2 yz / bc = 0. Преобразуем выражение:
2 xy / ab + 2 xz / ac + 2 yz / bc = 2 xyz / abc * (c/z + y/b + x/a)

Выражение в скобках по условию равно нулю, поэтому произведение равно нулю, а значит
(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1